Barisan geometri adalah salah satu topik penting dalam matematika yang sering muncul dalam berbagai ujian, baik ujian sekolah maupun ujian nasional. Topik ini tidak hanya menjadi bagian dari pelajaran matematika di sekolah, tetapi juga memiliki aplikasi nyata dalam kehidupan sehari-hari, seperti prediksi populasi penduduk, perhitungan investasi, atau bahkan dalam dunia coding. Dengan memahami konsep barisan geometri, kamu akan lebih mudah menyelesaikan masalah yang melibatkan pola bilangan dengan rasio tetap.
Dalam artikel ini, kita akan membahas secara lengkap tentang barisan geometri, termasuk pengertian, rumus, contoh soal, dan penjelasan langkah demi langkah agar kamu bisa memahami dengan mudah. Mari mulai!
Pengertian Barisan Geometri
Barisan geometri adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam urutan tertentu, di mana setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan sebuah nilai tetap yang disebut rasio (biasanya dilambangkan dengan $ r $).
Contoh sederhana dari barisan geometri adalah:
$ 2, 6, 18, 54, \ldots $
Pada barisan tersebut, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan $ r = 3 $. Jadi, barisan ini memiliki rasio $ r = 3 $.
Secara umum, barisan geometri dapat ditulis sebagai:
$$
a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1}
$$
di mana:
– $ a $ adalah suku pertama,
– $ r $ adalah rasio antar suku,
– $ n $ adalah jumlah suku.
Rumus Barisan Geometri
Rumus umum untuk mencari suku ke-$ n $ dari barisan geometri adalah:
$$
U_n = ar^{n-1}
$$
dengan:
– $ U_n $: suku ke-$ n $,
– $ a $: suku pertama,
– $ r $: rasio antar suku.
Contoh:
Jika $ a = 2 $ dan $ r = 3 $, maka:
– $ U_1 = 2 $
– $ U_2 = 2 \times 3 = 6 $
– $ U_3 = 2 \times 3^2 = 18 $
– $ U_4 = 2 \times 3^3 = 54 $
Suku Tengah dalam Barisan Geometri
Suku tengah adalah suku yang berada tepat di tengah-tengah barisan geometri. Suku tengah hanya ada jika jumlah suku dalam barisan adalah ganjil.
Rumus untuk mencari suku tengah ($ U_t $) adalah:
$$
U_t = \sqrt{a \cdot U_n}
$$
dengan:
– $ a $: suku pertama,
– $ U_n $: suku terakhir.
Contoh:
Jika barisan geometri adalah $ 2, 4, 8, 16, 32 $, maka suku tengahnya adalah $ 8 $, karena $ \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8 $.
Jenis-Jenis Barisan Geometri
Barisan geometri dibagi menjadi dua jenis berdasarkan nilai rasionya:
-
Barisan Geometri Naik:
Rasio $ r > 1 $. Contoh: $ 3, 9, 27, 81, \ldots $ -
Barisan Geometri Turun:
Rasio $ 0 < r < 1 $. Contoh: $ 8, 4, 2, 1, \ldots $
Contoh Soal Barisan Geometri dan Pembahasan
Soal 1:
Tentukan suku kelima dari barisan $ 3, 15, 75, \ldots $.
Penyelesaian:
– Suku pertama $ a = 3 $
– Rasio $ r = \frac{15}{3} = 5 $
Maka:
$$
U_5 = ar^{5-1} = 3 \times 5^4 = 3 \times 625 = 1875
$$
Jadi, suku kelima adalah $ \boxed{1875} $.
Soal 2:
Sebuah barisan geometri memiliki suku pertama $ 4 $ dan rasio $ 2 $. Tentukan suku ketiga dan keempat.
Penyelesaian:
– $ a = 4 $
– $ r = 2 $
$$
U_3 = 4 \times 2^{3-1} = 4 \times 4 = 16 \
U_4 = 4 \times 2^{4-1} = 4 \times 8 = 32
$$
Jadi, suku ketiga adalah $ \boxed{16} $ dan suku keempat adalah $ \boxed{32} $.
Deret Geometri
Deret geometri adalah penjumlahan dari semua suku dalam barisan geometri. Rumus untuk mencari jumlah $ n $ suku pertama dari deret geometri adalah:
$$
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}, \quad \text{untuk } r \neq 1
$$
Contoh:
Hitung jumlah 5 suku pertama dari barisan $ 2, 6, 18, 54, 162 $.
Penyelesaian:
– $ a = 2 $
– $ r = 3 $
– $ n = 5 $
$$
S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 – 1}{3 – 1} = 2 \cdot \frac{243 – 1}{2} = 2 \cdot \frac{242}{2} = 2 \cdot 121 = 242
$$
Jadi, jumlah 5 suku pertama adalah $ \boxed{242} $.
Latihan Soal Barisan dan Deret Geometri
Berikut beberapa latihan soal untuk kamu coba kerjakan sendiri:
Soal 1:
Barisan geometri memiliki suku pertama $ 5 $ dan rasio $ 3 $. Hitunglah suku keenam.
Soal 2:
Sebuah barisan geometri memiliki suku pertama $ 8 $ dan suku ke-4 $ 64 $. Hitunglah rasio dan suku ketiga.
Soal 3:
Deret geometri memiliki suku pertama $ 1 $ dan rasio $ 2 $. Hitunglah jumlah 6 suku pertama.
Tips Mengerjakan Soal Barisan Geometri
- Kenali rasio: Cari rasio dengan membagi dua suku yang berurutan.
- Gunakan rumus: Selalu gunakan rumus $ U_n = ar^{n-1} $ untuk mencari suku ke-$ n $.
- Perhatikan tanda negatif: Jika rasio negatif, barisan akan bergantian tanda.
- Latih banyak soal: Semakin banyak latihan, semakin mudah kamu memahami konsepnya.
Kesimpulan
Barisan geometri adalah salah satu topik penting dalam matematika yang sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari. Dengan memahami konsep dasar, rumus, dan cara menyelesaikan soal, kamu akan lebih percaya diri dalam menghadapi berbagai jenis soal barisan dan deret geometri.
Jika kamu ingin meningkatkan kemampuanmu, cobalah mengerjakan banyak latihan soal dan mencari referensi tambahan dari buku atau sumber online yang terpercaya. Dengan latihan terus-menerus, kamu pasti akan menguasai topik ini dengan baik.
Komentar