Barisan geometri adalah salah satu konsep penting dalam matematika yang sering muncul dalam berbagai soal dan pembelajaran. Dalam barisan ini, setiap suku memiliki rasio tetap terhadap suku sebelumnya. Rasio ini menjadi kunci untuk memahami pola dan menghitung suku-suku berikutnya. Bagi pemula, memahami contoh barisan geometri bisa menjadi langkah awal yang sangat bermanfaat.
Barisan geometri ditemukan dalam berbagai situasi nyata, seperti pertumbuhan populasi, penyebaran virus, atau bahkan dalam perhitungan keuntungan investasi. Oleh karena itu, mempelajari contoh barisan geometri tidak hanya membantu dalam ujian akademik, tetapi juga dalam memahami fenomena di dunia nyata. Artikel ini akan menjelaskan secara lengkap dan mudah dipahami bagaimana barisan geometri bekerja, beserta beberapa contoh soal yang sering muncul.
Apa Itu Barisan Geometri?
Barisan geometri adalah urutan bilangan di mana setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan sebuah konstanta yang disebut rasio (r). Misalnya, jika suku pertama adalah a dan rasio adalah r, maka barisan geometri dapat ditulis sebagai:
a, ar, ar², ar³, …, arⁿ⁻¹
Dalam barisan ini, setiap suku berikutnya adalah hasil dari perkalian suku sebelumnya dengan rasio (r). Jika r > 1, barisan tersebut akan meningkat secara eksponensial. Namun, jika 0 < r < 1, barisan akan menurun secara bertahap.
Contoh Sederhana
Sebagai contoh, mari kita lihat barisan berikut:
2, 6, 18, 54, …
Di sini, suku pertama (a) adalah 2, dan rasio (r) adalah 3. Setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 3. Maka:
– Suku kedua = 2 × 3 = 6
– Suku ketiga = 6 × 3 = 18
– Suku keempat = 18 × 3 = 54
– Dan seterusnya…
Ini adalah contoh sederhana dari barisan geometri yang mudah dipahami.
Rumus Dasar Barisan Geometri
Untuk menghitung suku ke-n dari barisan geometri, kita menggunakan rumus berikut:
Un = a × rⁿ⁻¹
Di mana:
– Un = suku ke-n
– a = suku pertama
– r = rasio
– n = posisi suku (misalnya, n=1 untuk suku pertama)
Rumus ini sangat berguna untuk menentukan nilai suku apa pun dalam barisan tanpa harus menghitung semua suku sebelumnya.
Contoh Penggunaan Rumus
Misalkan kita memiliki barisan geometri dengan suku pertama (a) = 3 dan rasio (r) = 2. Kita ingin mencari suku ke-5.
Menggunakan rumus:
U5 = 3 × 2⁵⁻¹ = 3 × 2⁴ = 3 × 16 = 48
Jadi, suku ke-5 dari barisan ini adalah 48.
Contoh Soal Barisan Geometri
Berikut ini adalah beberapa contoh soal barisan geometri yang sering muncul dan cara penyelesaiannya:
Contoh Soal 1
Tentukan rasio dan suku pertama dari barisan geometri berikut:
– Suku ke-4 = 8
– Suku ke-6 = 729
Penyelesaian
Kita tahu bahwa:
– U4 = a × r³ = 8
– U6 = a × r⁵ = 729
Membagi kedua persamaan:
U6 / U4 = (a × r⁵) / (a × r³) = r² = 729 / 8 = 81/1
Maka:
r² = 81 → r = √81 = 9
Substitusi nilai r = 9 ke dalam persamaan U4:
a × 9³ = 8 → a × 729 = 8 → a = 8 / 729
Jadi, rasio (r) adalah 9 dan suku pertama (a) adalah 8/729.
Contoh Soal 2
Diketahui suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162. Tentukan rasio dan suku pertama.
Penyelesaian
Kita tahu bahwa:
– U2 = a × r = 6
– U5 = a × r⁴ = 162
Bagi kedua persamaan:
U5 / U2 = (a × r⁴) / (a × r) = r³ = 162 / 6 = 27
Maka:
r³ = 27 → r = ∛27 = 3
Substitusi nilai r = 3 ke dalam persamaan U2:
a × 3 = 6 → a = 6 / 3 = 2
Jadi, rasio (r) adalah 3 dan suku pertama (a) adalah 2.
Jenis-Jenis Barisan Geometri
Barisan geometri dapat dibagi menjadi dua jenis berdasarkan nilai rasionya:
- Barisan Geometri Naik: Jika rasio (r) lebih besar dari 1 (r > 1), maka setiap suku akan lebih besar dari suku sebelumnya.
- Barisan Geometri Turun: Jika rasio (r) antara 0 dan 1 (0 < r < 1), maka setiap suku akan lebih kecil dari suku sebelumnya.
Contoh:
– Barisan naik: 2, 6, 18, 54, …
– Barisan turun: 100, 50, 25, 12.5, …
Manfaat Memahami Barisan Geometri
Memahami barisan geometri tidak hanya bermanfaat dalam matematika, tetapi juga dalam berbagai bidang lain seperti ekonomi, biologi, dan teknik. Contohnya:
– Ekonomi: Menghitung pertumbuhan investasi atau inflasi.
– Biologi: Memodelkan pertumbuhan populasi hewan atau bakteri.
– Teknik: Menghitung penyebaran suatu fenomena dalam waktu tertentu.
Dengan memahami barisan geometri, kita dapat membuat prediksi yang lebih akurat dan mengambil keputusan yang lebih baik dalam berbagai situasi.
Kesimpulan
Barisan geometri adalah urutan bilangan yang memiliki rasio tetap antara dua suku berurutan. Dengan memahami konsep dasar, rumus, dan contoh soal, kita dapat menghitung suku-suku dalam barisan ini dengan mudah. Contoh barisan geometri yang sederhana seperti 2, 6, 18, 54, … memberikan gambaran jelas tentang bagaimana barisan ini bekerja. Selain itu, memahami barisan geometri juga membantu dalam memecahkan masalah nyata di berbagai bidang. Dengan latihan dan penerapan, pemahaman tentang barisan geometri akan semakin kuat dan bermanfaat.
Komentar